soal latihan homomorfisme grup

Rian Antono

                                                                                                      10310279

                                                                                                      7G

1.    Diket ( Z , + ) dan ( R, × ) adalah grup.

Φ : Z → R didefinisikan oleh

Φ ( n ) = 2ⁿ ,  

Buktikan Φ homomorfisme

Jawab :

Ambil  

Dengan demikian Φ

                         Φ

Adb Φ

Φ

             

             

Jadi Φ homomorfisme

v  Pembuktian surjektif

Ambil c  R ,  d  Z  Φ ( d ) = c

Terdapat d  Z

 Φ ( d ) = c

Pilih d =

Φ ( d ) = 2^d

                   =

            = c

Jadi Φ surjektif

v  Pembuktian injektif

Ambil  ϶ Φ ( r ) = Φ ( s ) = r = s

϶  Φ ( r ) = Φ ( s )

Adb  r = s

Φ ( r ) = Φ ( s )

   2^r     =     2^s

=

    r     =   s

Jadi Φ injektif

Dengan demikian , karena Φ bijektif maka disebut isomorfisme

2.    Diket ( R, × ) adalah grup.

Φ : R → R didefinisikan oleh

Φ ( x ) = x³ ,  

Buktikan Φ homomorfisme

Jawab :

Ambil  

Dengan demikian Φ

                         Φ

Adb Φ

Φ

             

             

Jadi Φ homomorfisme

v  Pembuktian surjektif

Ambil y = 1

 x, Φ ( x ) = 1

       Φ ( x ) = x³ = 1

                      x  =

                          = 1         

Jadi Φ surjektif

v  Pembuktian injektif

Ambil  ϶ Φ ( r ) = Φ ( s ) = r = s

϶  Φ ( r ) = Φ ( s )

Adb  r = s

Φ ( r ) = Φ ( s )

   r³     =   s³

    r       =   s

Dengan demikian , karena Φ bijektif dan bekerja pada grup sendiri  maka disebut automorfisme

3.    Diket ( R, + ) dan ( R⁺, × ) adalah grup.

Φ : R → R⁺ didefinisikan oleh

Φ ( x ) = e^x ,  

Buktikan Φ homomorfisme

Jawab :

Ambil  

Dengan demikian Φ(

                         Φ

Adb Φ

Φ

             

             

Jadi Φ homomorfisme

v  Pembuktian surjektif

Ambil a  R⁺ ,  b  R  Φ ( b ) = a

Pilih b = ln a

Φ ( b)  = e^b

       = e ^{ln a}

       = a

Ambil y = 1

 x, Φ ( x ) = 1

       Φ ( x ) = e^x = 1

                      x  = 1         

Jadi Φ bukan surjektif

v  Pembuktian injektif

Ambil  ϶ Φ ( r ) = Φ ( s ) = r = s

϶  Φ ( r ) = Φ ( s )

Adb  r = s

Φ ( r ) = Φ ( s )

   e^r     =   e^s

 ln e^r    =   ln e^s

    r      =   s

Jadi Φ injektif

Dengan demikian , karena Φ injektif maka disebut monomorfisme