HOMOMORFISME
1. Mis.
(Z, +) grup
a. Jika β ; Z ke Z didefinisikan dg β (x)=2x, untuk
setiap Z , buktikan β endomorfisme
b. Jika β ; z →
z didefinisikan dengan β (x)
= x, untuk setiap x ∈ Z, buktikan β antomorfisme
Bukti
a. Ambil sebarang x,y ∈ Z.
β (x)
= 2x
β (y)
= 2y
β (x+y)= 2 (x+y)
= 2x
+ 2Y = β (x)
+ β
(y)
Karena β (x+y)
= β
(x) + β (y) untuk
setiap x,y
∈ Z
Dan β: Z →
Z maka β endomorfisme, tetapi tidak
surjektif b. I) adt
: β
homomorfisme
ii)
β injektif
dan surjektif
Bukti:
i. β (x)
= -x, β (y)=-y
β (x+y) = - (x+y)
= -x-y
= -x + (-y)
= β (x) + β (Y)
ii. Adt β injektif
dan surjektif
- Ambil sebarang x,y ∈ Z
β (x) = β (Y)
-x = -y
-1.x = -1.y
X = y
(konselasi kiri)
Maka β injektif
- Ambil sebrang y ∈ Z Pilih x ∈ Z , x = _y
β (X) = -(-y)
β (x)
= y
Maka β surjektif
Karena β endomorfisme dan β injektif dan β surjektif maka β antromorfisme
2. T adalah himpunan semua bilangan bulat genap. Tunjukkan bahwa (Z,+) dan (T,+) adalah
isomorfis.
Solusi :
f : S → T disebut isomorfisme dari semigroup (S,*) ke (T,*’)
bila menunjukkan hubungan
korespondensi satu-satu dari S ke T.
a. f: Z →
T dengan f(a) = 2a
b. tunjukkan f berkoresponden satu-satu f(a1 )= f(a2 ) lalu 2a1 = 2a2 shg a1 = a2
c. tunjukkan f onto, misalkan b sembarang bilangan bulat genap dan a= b/2 dan f(a) =f(b/2) =
2(b/2) =b.
f → onto
d. f(a+b)
= 2(a+b) = 2a+2b = f(a) + f(b) Sehingga (Z,+)
dan (T,+) adalah isomorfis.
3. Apakah Q ; G
ke
G^1 berupa Isomofisme?
Jawab:
i. Adt Q injektif
Q(x)=Q(y) maka x=y
Q(x)=Q(y)
Log x = log y
X=y
(kedua logaritma hasilnya sama
berarti bil yang logaritmakan adalah
sama)
ii.
Adt Q
surjektif
Ambil sebarang z angg G^1 ,, x =10^y
Maka Q(x) = log x Q(X) = log 10 ^y Q(x)=
y
Dari pers i dan ii mka Q
; G ke G1 adalah Isomofisme
4. Mis G gruop bil reil R + terhadap operasi perkalian (R+, x).
Q dibaca SIE
G^1 grup bil rel R terhadap operasi +
Q
; G ke G^1 didefinisikan dg Q(x)
= log x, unt setiap x
angg
G
Bukti:
Adt: Q (x.y)
=(?) Q (x) + Q (y) Q(x)
= log x
Q(y) = log y
Q(xy)=
log (xy) = log x + log y
Q(xy)=
Q9x) + Q(y)
Karena Q(xy) =
Q9x) + Q(y) unt setiapp x,y angg
G
Maka Q: G ke G1 adalah
homomofisme
5. Mis G himp bil bulat tak nol terhadp opersi x membentuk grup G^1 = (1,-1) grup terhadap operasi x.
Pemetaan Q :
G ke G^1 didefinisikan
oleh Q(x) = 1, x>0 dan -1, x<0. Buktikan Q homofisme
Bukti :
Kasus 1) x
> 0, y >0
X > 0 maka Q(x) = 1
y > 0 maka Q(y)
= 1
xy>0maka Q(xy) = 1 = 1.1
=Q(x) Q(y) Kasus 2) x>0, y<0
→ Q(x) = -1
Kasus 3) X<0, y>0 → Q(x) =-1
Kasus 4) x<0, y<0 →
Q(x) = 1
6. Apakah setiap
grup dari grup abeluan adalah grup normal?
Jawab: iya, buktinya
Miasalkan , G adalah
grup abelian maka setiap
x,y angg G Berlaku x,y=y=x
n adalah sub grup G maka n subset G sehingga n angg N, maka n angg G. Adan karena G abel
mk
N juga berlaku setiap m,n angg N.
Maka mn=nm
N dikatakan subgrup normal dari G
(N subgrup normal G)
Jika a^-1 Na subset
N,
unt a angg G
Ambil sebrang P angg
a^-1 Na dg A ngg
G P =
a^-1 na, n ang N
P = a^-1 an, komutaif karena G abel dan N ang N, N suset G maka n ang G P= en , invers
P=n , sifat indentitas
Maka diperoleh p angg
N,
karena P angg a^-1 Na dan P ang N Mak
sifat a^-1Na subset N
Sehg terbukti N subgrup Nrmal dari G
7. G grup siklis, jika ada a ang G ada G =<a>
<a>
= (a^n l a c
G) (x, kali) c di baca subset
<a>=(n.a l a angg
G) (+, tambah) Adit: <a> grup abel
- Ambil sebrabg x,y
angg <a>
Adit xy=yx
Bukti x ang <a> maka x = a^m
Y ang <a>
maka y = a^n
Xy= a^m + a^n= a ^m+n = a^n . a^m
= y.x
- X angg <a> maka x = n.a
Y ang <a>
maka y = m.a
X + y
= na + ma
= a (m+n)
= ma + na
=y + x
8. β : Z ke Zn, dg b(a)=(a) dari a ∈ Z, maka b (a+b) =(a+b)= (a) +(b)= b(a)+b(b), unt setiap a,b ∈ Z.
Homomofisme
Adid homofisme
B (a+b) = (a+b) =(a)+(b)=b(a)+b(b) untuk setiap a,b ∈ Z. Adib:
B(a+b)= (?) b(a) + b(b) B(a)= (a)
B(b)=(b)
B(a+b)=(a+b) = (a)+(b) = b(a)+b(b)
Karena B(a+b)= b(a)+b(b) unt setia a,b ang Z maka Z ke Z adalaha homofisme
Adib surjektif
Untuk setiap c ang Zn, ada a ang Z maka b(a)=c Ambil sebrang c ang Z pilih c ang Z pilih
c =(a), maka B(a)=(a)
B(a)=c
9. Definisi b; Z ke Z by b(a)=2a untuks etiap a ang Z. Maka b(a+b)= 2(a+b)=2a+2b= b(a)+b(b) untuk
setiap a,b ang Z. Homofisme
Adib homofisme
B(a+b)=(?) b(a) +b(b)
B(a)=2a
B(b)=2b
B(a+b)=2(a+b) =2a+2b = b(a)+b(b)
Karena b (a+b)= b(a)+b(b),
untuk setiap a,b ang z, maka b;Z ke Z adalah homomofisme
Homomorfisme injektif
Ambil sebarang a,b ang Z maka
Adib: b(a) =(?)
b(b)
2a=2b
A=b (kensel kiri)
Terbukti b(a)=b(b) maka a=b
10. Dari r ang R, def Pr:R ke R by Pr(a)=ar untuk setiap a ang R. Maka homofisme, Pr(a+b) = (a+b)r
= ar+br = Pr(a)+Pr(b) untuk
setiap a,b ang R. Buktikan (a+b)r=ar+br
Jawab:
Homomofisme Pr:R ke R
i. Adib injektif
Ambil sebrang a,b
ang
R maka Adib Pr(a)=Pr(b)=(?) ar=br Pr(a)=Pr(b)
Ar=br terbukti
ii. Adib surjektif
Untuk r ang R,
untuk
c ang R ada cr ang R
Untuk cr ang R, ada a ang R
maka Pr(a) = cr Ambil sebrang cr anng R
Pilih a ang R
, a = c
Pr(a) = ar
Pr(a) = cr
terbukti
11. Apakah semua subgrup S3 adalah subgrup normal?
Jawab tidak.
Himp S3= ( (1), (1,2), (1,3), (2,3), (123), (132) )
Untuk membuktikan subgrup normal haruslah koset kiri=koset kanan
Ambil sebarang , misalkan (1) dan (1.3)
- Koset kanan
H o (1) = ( (1) , (1,3))
H
o (a) = H O (1.2)= Ho (123)
= ( (1) o
(12), (13) o (12)
= ((12) (123))
H o (a) = H o (23) = H
o (132)
= ((1) o (23), (13) o(23
= ((23) o (132))
- Koset kiri
(1) o H = ((1) , (13))
(a) o H
= (12) o H
=((12) o (1) , (12) o (13)
= ((23) o (123)
Jadi koset kiri tidak sama
dengan kosed kanan
12. b(a) adalah subgrup dari H
adib b G sugrup H , b(aob) = b(a) #b(b)
two steps
subgrup test
a. b(a) tidak
sama dengan Himpunan kosong
jelas, karena G grup dan ada eG ada b (eG) = eH
b. b(G) cubsed H
b(G)= (b(a) l a ang G)
setiap b(a) ang b(G) maka b(a) ang H
berarti b(a) sused H
c. ambil sebarang
x,y ang (G)
x
ang
b(G) artinya ada a ang G ada x
= b(a)
y
ang
b(G) artinya ada b ang G ada y = b(b)
karena himpunannya di H
maka operasi yang digunakan #
x
# y
= b(a) # b(a)
= b(a o b) ∈ b(G)
Setiap ang b(G) artinya
ada a ang G ada
x
= b(a)
X =
b (a)
X^-1 = b (a)^-1
= b (a^-1) ∈ b (G) Terbukti b (k)
subsed H
B= k ke H, b homomofisme
Tunjukkan secara one-step
Ambil sebrang x.y
ang
b(G) Adib xy^-1 ang b(G)
X ang b (G) ke ada a ang G, ada b(a)=x
Y ang b(G)
ke
b ang G , ada b(b)=
y
B(b)=y
(b(b)^-1 = y
^-1
X # y^-1 = b (a) # ( b (b))^-1
= b (a) # (b(b^-1)
= b (a # b^-1) Ang b (G)
, a
o b^-1 ang G
13. Diketahui fungsi f : R ® R dengan f(x) = x.
Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f :
R
® R dengan f(x) = x2 bukan fungsi surjektif karena -2 Î R tetapi tidak ada x Î R
sehingga f(x) = x2 = -2.
14. Diketahui fungsi f :
R ® R dengan f(x) = x3. Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk
setiap x,
y
Î R dengan f(x) = f(y)
maka x3 = y3 sehingga berlaku x = y.
Sedangkan fungsi f : R ® R
dengan
f(x) = x2 bukan fungsi injektif karena ada -2, 2 Î R dan -2 ≠
2 tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2).
15. Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan bulat tertentu. Akan ditunjukkan bahwa
aturan
f(x)
= xn mendefinisikan suatu homomorfisma
f : G ® G.
Karena f(xy)
= (xy)n = xn yn = f(x) f(y)
maka f mengawetkan operasi.
Khususnya, f : Z10* ® Z10* dengan f (x) = x2. Hal itu berarti f(1)
= 1, f(3) = 9, f(7) = 9, dan f(9) =
1.
16. Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan
homomorfisma 2 ke 1.
Karena f(0)
= 0
dan f(5) = 0 maka
K=Ker(f)
= {
0, 5 }.
Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f yaitu 10 anggota
dibawa dalam 2 ke 1
cara ke 5
anggota peta f.
{ 0 , 5 } ® 0
{ 1 , 6 } ® 8
{ 2 , 7 } ® 6
{ 3 , 8 } ® 4
{ 4 , 9 } ® 2
17. Didefinisikan pemetaan f : Z ® Z dengan aturan f(x) = 3x. Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x)
+ f(y) maka f homomorfisma. Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0
} atau f injektif.
Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3) yang
merupakan grup bagian sejati dari Z.
18. Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap
operasi penjumlahan dan pergandaan
biasa.
Didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : "aÎZ, f(a) = 2a, maka apakah g
adalah suatu homomorfisma?
a. f fungsi yakni ("a, bÎ Z), a = b Þ f(a) = f(b) Ambil sebarang a,b Î Z, dengan a = b
Þ 2a = 2b
...
(sifat pada Z)
Þ f(a) = f(b)
...( definisi f )
b. f bukan homomorfisma, karena tidak berlaku "x, yÎZ, f(xy) = 2xy ≠ (2x)(2y) = f(x) f(y)
Sebagai counter example :
$ -3, 5Î Z, f((-3)5) = f (-15) = 2(-15)
= 30 ≠ f (-3) f (5) = (-6)10 = 60
19. Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat
modulo n).
"xÎZ, h(x) = r = sisa x/n,
artinya x = kn + r atau r = x – kn, untuk suatu k Î Z dan 0 £ r <
n. Buktikan bahwa h homomorfisma.
Bukti :
a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan
mahasiswa b.
h homomorfisma :
"x, yÎZ maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk suatu p, q Î Z. Ini berarti bahwa h(x) = r, h(y) =
s Î Zn, dimana 0£ r< n dan 0£s<n, maka r+s, rs Î Zn.
Diketahui bahwa r, s, r+s, rsÎ Z, sehingga $t, uÎZ berlaku r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan
0£ v < n dan
0£w<n.
(r, s Î Zn maka r+s = v,
rs
= w Î Zn)
i. x + y = (pn + r) + (qn
+ s) ii. xy = (pn
+ r)(qn + s)
= (p+q)n + (r+s) = (pqn)n + (ps)n + (qr)n
+ rs
= (p+q)n + tn +v = [(pqn)+(ps)+(qr)]n+un + w
= (p+q+t)n + v
= [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w
= p*n
+ v
= q*n + w
Tampak
dari i, bahwa h(x+y)
= v = r+s = h(x) + h(y)
dari ii, diperoleh h(xy) = w = rs = h(x).h(y)
Jadi h adalah homomorfisma
